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By Avner Friedman

Meant for college kids who've already accomplished a one-year path in straight forward calculus, this rigorous two-part remedy advances from capabilities of 1 variable to these of numerous variables. subject matters comprise differentiation, a number of integrals, and line and floor integrals. whole recommendations to all difficulties look on the finish. 1971 variation.

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Example text

Beweis. Ist P,-+P0 (v-+oo), so ist die Folge I P, P 0 I (v = 1, 2, ... ) eine Nullfolge, daher auch beschränkt, so dass auch die Punktfolge P, beschränkt ist. Ferner konvergiert auch jede unendliche Teilfolge aus den P, gegen den gleichen Grenzpunkt P 0 , so dass P 0 in der Tat die einzige Häufungsstelle der Folge ist. Es möge umgekehrt die Folge P, (v = 1, 2, ... ) beschränkt sein und eine einzige Häufungsstelle P 0 besitzen. Wir behaupten, dass für jedes s > 0 von einem v an 41 § 3, 15. Der Häufungsstellensatz ist, dass also, mit andern Worten, die Relation (15,1) nicht für unendlich viele Punkte P.

Ist P 0 irgendein Punkt von M, so wollen wir definieren, wann wir f(P) als im Punkt P 0 stetig bezeichnen. Ist P 0 ein isolierter Punkt von M, so heisst J(P) unter allen Umständen stetig in P 0 • Ist aber P 0 eine Häufungsstelle von M, so heisstj(P) dann und nur dann stetig in P 0 , wenn j(P)-+ j(P0 ) (P-+ P 0 , P-< M) (22,1} ist. - Es wird also erstens verlangt, da<>s f(P) einen Grenzwert besitze, wenn P überM gegen P 0 geht, und zweitens, dass dieser Grenzwert gerade mit f(P 0 ) identisch sei.

Ganz ähnlich kann es sich mit den allgemeinen, irgendwie definierten Punktmengen verhalten. Hat man nun eine derartige beliebige Punktmenge M, die verschiedene Punkte auch mehrfach enthalten kann, so wollen wir eine Menge M 1 als eine Teilmenge oder Untermenge von M bezeichnen, wenn jedes Element von M 1 auch in der Menge M vorkommt, und zwar wenigstens < wie in der Menge M 1 • Es ist demnach klar, was man unter einer Teilfolge einer derartigen Punktmenge zu verstehen hat. Nunmehr kann der Begriff der Häutungsstelle auch für Punktmengen M definiert werden, die nicht notwendig aus lauter verschiedenen Punkten bestehen.

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