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By Ehrhard Behrends

In diesem Analysisbuch wird besonders viel Wert darauf gelegt, die Anfängerschwierigkeiten zu berücksichtigen: Alle neuen Begriffe werden ausführlich motiviert, die Beweisstrukturen werden so obvious wie möglich gemacht. Während der Vorbereitung gab es eine besonders in depth Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden; alles, was once ihrer Meinung nach zum besseren Verständnis hätte gesagt werden können, ist aufgenommen worden.
Das Buch enthält viele Übungsaufgaben, deren ausführliche Lösungen als Online-Service zum Buch auf der speziell dafür eingerichteten Internetseite zu finden sind.
Das Buch ist auch zum Selbststudium geeignet. Schon im textual content gibt es zahlreiche Fragen zum Mitdenken, und nach jedem Kapitel findet guy - für spätere Prüfungsvorbereitungen - eine Sammlung von Verständnisfragen.
Es werden auch viele Fragen angesprochen, die nicht direkt zur research gehören: Grundlagen der Logik, Computeralgebrasysteme, Mathematik und Realität usw.

Online-Service: www.math.fu-berlin.de/~behrends/analysis

Die reellen Zahlen: Motivation - Mengen - Körper - angeordnete Körper - Induktion - die ganzen und die rationalen Zahlen - Archimedesaxiom - Vollständigkeit - komplexe Zahlen - Ergänzungen
Folgen und Reihen: Folgen - Konvergenz - Cauchy-Folgen - Reihen - Ergänzungen
Metrische Räume: grundlegende Definitionen - Kompaktheit - Stetigkeit
Differentiation: Motivation - Mittelwertsätze - Satz von Taylor - Potenzreihen - spezielle Funktionen - Fundamentalsatz der Algebra - einfache Differentialgleichungen

Studierende der Mathematik, Physik und Informatik an Universitäten ab dem 1. Semester

Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein. Ebenfalls bei Vieweg+Teubner erschienen "Alles Mathematik" (herausgegeben mit M. Aigner) und "Fünf Minuten Mathematik".

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Example text

Wenden wir darauf den Induktionsanfang an , so ergibt sich k E N. Damit gilt (v) für n + 1. 5. NATÜRLICHE ZAHLEN, VOLLSTÄNDIGE INDUKTION 47 (vi) Das ist nichts weiter als eine Umformulierung von (v), wenn man k := n-m betrachtet. Der Zusatz folgt aus (iii): n=m+(n-m) ~m+1. (vii) Wir führen hier einen indirekten Beweis. Die Existenz eines no mit den geforderten Eigenschaften soll dadurch gezeigt werden, dass die Nichtexistenz auf einen Widerspruch geführt wird. Angenommen also, so ein no gäbe es nicht.

1 unter Verwendung der Definition für n Es folgen einige Beispiele für die Definition durch vollständige Induktion: 1. Fakultät: Wir vereinbaren 1! := 1 und (n + 1)! := (n (gespro chen "n Fakultät") für jedes n E N definiert. + 1)· nL Dadurch ist n! 2. Potenz: Sei x E K (oder x Element irgendeiner Menge, die eine innere Komposition ,,0" trägt). Xl := x, x n + l := z - x n (im allgemeinen Fall setzen wir: x n +1 := x ° x n ) definiert dann z" für jedes n E N . 3. Summe: Für jedes n E N sei X n ein Element von K.

Da N der Schnitt über alle induktiven Teilmengen ist , ist schon alles gezeigt . (iv) Betrachte A := {n E N A ist induktiv, denn In = Leder (es gibt ein m E N mit m +1 = n)} . 1. 1 E A j das ist nach Definition klar. 2. h. es ist n = 1 oder n lässt sich als n = m + 1 schreiben. Wir müssen zeigen, dass auch n + 1 von der Form k + 1 mit einer geeigneten natürlichen Zahl k ist. Das ist im Fall n = 1 klar, wir brauchen ja nur k = 1 zu wählen. Im Fall n = m + 1 ist n + 1 = (m + 1) + 1, und damit leistet k := m + 1 das Verlangte.

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