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By Robert M. Miura

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Die Norm der Abbildung (Xl> X2, ... ) ...... limxk von (c) nach R ist 1. Hinweis: Aufgabe 1. 4. / ist 2. Hinweis: Aufgabe 1. D ist in NT. 17 erkliirt. 5. Die Abbildung A, die jedem feR [0, a] die Funktion (Af)(s):=s net, hat die Norm a 2 . Hinweis: Aufgabe 1. r~f(t)dt (O~s~a) zuord- 113 Stetige Funktionen aus RP nach Rq 45 6. 3) gilt gewiB IIAII ~(b-a) supllk(s, 1)1: (s, I)EQ} Es ist aber sogar IIAII";;a~~:h J: (s. 6 c). Ik(s, t)ldl. 7. A: /'" _I'D sei durch A (x" X2, ... ):= (x" x2/2, X3/3, ...

R mit k~t q 'Yik:=Laij{3jk fliri=1, ... ,r und k=1, ... ,p. • 'Yt P ) [AB] =( : , 'YTt ... 'Yrp wobei man das Element 'Yib das in der i-ten Zeile und k-ten Spalte steht, erhalt, indem man die i-te Zeile von [A] mit der k-ten Spalte von [B] "komponiert": q 'Yik = L alj {3jk. iJ3jk, J=I so ist nattirlich [A B] = [A] [B]. Man beaehte, daB man nieht beliebige Matrizen miteinander multiplizieren kann, sondern nur so1che, deren "Typen" in dem Sinne zueinander passen, daB der erste Faktor ebensoviel Spalten wie der zweite Zeilen hat: 1st der erste Faktor yom Typ (r, q), so kann man als zweiten Faktor nur eine Matrix des Types (q,p) verwenden, das Produkt ist dann eine (r,p)-Matrix, symbolisch: (r, q)·(q,p)=(r,p).

13 Uberdeckungssatz von Heine-Borel Eine Teilmenge K des normierten Raumes E ist genau dann kompakt, wenn jede ihrer offenen Uberdeckungen eine endliche Uberdeckung enthalt. Zu seinem Beweis benotigen wir zwei einfaehe Hilfssatze. 14 Hilfssatz Sei K c E kompakt. •• , x~! aus K, so daB die (1/n)- Umgebungen derselben die Menge K uberdecken. Ware dies namlieh nieht der Fall, so gabe es ein "Ausnahme-n", etwa no, mit der Eigensehaft, daB die (1/no)-Umgebungen endlieh vieler Punkte aus K niemals ganz K iiberdeeken.