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By K. Donner

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Positive Zahlenfolgen, so gilt lim ayby ~ lim aylim b. im aylim by. 6. ) und lima. 7. + by -- 1, limay ~ 'Y), - a. +ß) limb. - b. -- 1 - = limay+ß, für negative 'Y) 1-1] folgt: (v -- 00 ). +ß) = limay+ß. ß gilt b) Für jede positive Konstante limß a y ~ ß gilt 8. ). = ßlimay, limß a. imay; ß dagegen ßlimay, limß a y = ßlimay. limß a y = 9. Es gilt (n-- n oo ). 10. =1 __ 1 19n 11. Es gilt (n-- 12. Für ganze p >- - I gilt . 1P + 3 P + 5P + ... +oo n 13. Aus a. -- s (v -- 00) folgt --s (n-- oo ) , oo ).

Sind a,. >- ... + n an _ n (n + 1) • 1,2, ... ). =1 ,=1 Ya 1 ... av -< e so gilt I: a•. (Carleman) v=1 33. Man betrachte den 00 -dimensionalen Raum, dessen allgemeiner Punkt P unendlich viele Koordinaten x. (v = 1, 2, ... ) hat und verlange insbesondere, daß für den allgemeinen Punkt dieses Raumes die Quadratsumme der Koordinaten dieses Punktes, (Hilbertscher Raum H 2 ). Sind P(x,), Q(y,) (v dieses Raumes, so konvergiert L '=1 1,2, ... ~1[X,y,r = L"" x;, konvergiert ;§ ,t x~ '~1 y;. 34. Es gilt, wenn x kein ganzzahliges Vielfaches von ; ist, rr"" (_tgx/2x / '=1 2' ) 2' v I _.

Unter Benutzung der Bezeichnungen von A60 und der Voraussetzungen von A61 sei für n = 0,1,2, ... en = an+1-an+2+ ... = = ( -l)n(s - sn). Dann giltfür alle natürlichen n: s - Sn = ( _1)n (Lln eo/2n). 63. Unter Benutzung der Bezeichnungen und Voraussetzungen von A 62 mögen die a. die Eigenschaft haben, daß für jedes v = 0, 1, 2, ... und jedes n = 1,2, ... die Ausdrücke (-1)" Lloa n nicht negativ sind. Dann nehmen diese Ausdrücke sowohl bei wachsendem v als auch bei wachsendem n monoton ab, und dasselbe gilt für die Ausdrücke (-1)" LI· en (v = 1,2, ...