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By C. E. Silva

This booklet is an advent to easy strategies in ergodic idea comparable to recurrence, ergodicity, the ergodic theorem, blending, and susceptible blending. It doesn't suppose wisdom of degree conception; all of the effects wanted from degree concept are provided from scratch. particularly, the ebook features a special building of the Lebesgue degree at the actual line and an creation to degree areas as much as the Caratheodory extension theorem. It additionally develops the Lebesgue thought of integration, together with the ruled convergence theorem and an creation to the Lebesgue $L^p$spaces. numerous examples of a dynamical method are built intimately to demonstrate quite a few dynamical suggestions. those comprise particularly the baker's transformation, irrational rotations, the dyadic odometer, the Hajian-Kakutani transformation, the Gauss transformation, and the Chacon transformation. there's a specified dialogue of slicing and stacking alterations in ergodic conception. The booklet contains a number of routines and a few open inquiries to provide the flavour of present examine. The booklet additionally introduces a few notions from topological dynamics, akin to minimality, transitivity and symbolic areas; and develops a few metric topology, together with the Baire class theorem

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Example text

Beweis. Ist P,-+P0 (v-+oo), so ist die Folge I P, P 0 I (v = 1, 2, ... ) eine Nullfolge, daher auch beschränkt, so dass auch die Punktfolge P, beschränkt ist. Ferner konvergiert auch jede unendliche Teilfolge aus den P, gegen den gleichen Grenzpunkt P 0 , so dass P 0 in der Tat die einzige Häufungsstelle der Folge ist. Es möge umgekehrt die Folge P, (v = 1, 2, ... ) beschränkt sein und eine einzige Häufungsstelle P 0 besitzen. Wir behaupten, dass für jedes s > 0 von einem v an 41 § 3, 15. Der Häufungsstellensatz ist, dass also, mit andern Worten, die Relation (15,1) nicht für unendlich viele Punkte P.

Ist P 0 irgendein Punkt von M, so wollen wir definieren, wann wir f(P) als im Punkt P 0 stetig bezeichnen. Ist P 0 ein isolierter Punkt von M, so heisst J(P) unter allen Umständen stetig in P 0 • Ist aber P 0 eine Häufungsstelle von M, so heisstj(P) dann und nur dann stetig in P 0 , wenn j(P)-+ j(P0 ) (P-+ P 0 , P-< M) (22,1} ist. - Es wird also erstens verlangt, da<>s f(P) einen Grenzwert besitze, wenn P überM gegen P 0 geht, und zweitens, dass dieser Grenzwert gerade mit f(P 0 ) identisch sei.

Ganz ähnlich kann es sich mit den allgemeinen, irgendwie definierten Punktmengen verhalten. Hat man nun eine derartige beliebige Punktmenge M, die verschiedene Punkte auch mehrfach enthalten kann, so wollen wir eine Menge M 1 als eine Teilmenge oder Untermenge von M bezeichnen, wenn jedes Element von M 1 auch in der Menge M vorkommt, und zwar wenigstens < wie in der Menge M 1 • Es ist demnach klar, was man unter einer Teilfolge einer derartigen Punktmenge zu verstehen hat. Nunmehr kann der Begriff der Häutungsstelle auch für Punktmengen M definiert werden, die nicht notwendig aus lauter verschiedenen Punkten bestehen.

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